Предположим, что ЛПР (лицо, принимающее решения) рассматривает несколько возможных решений: i = 1,…,m.
Ситуация, в которой действует ЛПР, является неопределенной. Известно лишь, что наличествует какой-то из вариантов: j = 1,…, n. Если будет принято i -e решение, а ситуация есть j -я, то фирма, возглавляемая ЛПР, получит доход q ij .
Матрица Q = (q ij) называется матрицей последствий (возможных решений). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой ситуации полной неопределенности могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного характера. Они не обязательно будут приняты ЛПР.
Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме?
Допустим, мы хотим оценить риск, который несет i -e решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Т.е. если ситуация есть j -я, то было бы принято решение, дающее доход q ij .
Значит, принимая i -e решение мы рискуем получить не q j , а только q ij , значит принятие i -го решения несет риск недобрать r ij = q j - q ij . Матрица R = (r ij) называется матрицей рисков.
Пример №1
. Пусть матрица последствий есть
Составим матрицу рисков. Имеем q 1 = max(q i 1) = 8, q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12.. Следовательно, матрица рисков есть
Правило Вальда
(правило крайнего пессимизма). Рассматривая i -e решение будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход a i Но теперь уж выберем решение i 0 с наибольшим a i0 . Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0 , такое что
Так, в вышеуказанном примере, имеем a 1 = 2, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 1. Из этих чисел максимальным является число 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение.
Правило Сэвиджа
(правило минимального риска). При применении этого правила анализируется матрица рисков R = (rij) . Рассматривая i -e решение будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска b i = max
Но теперь уж выберем решение i 0 с наименьшим b i0 . Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i 0 , такое что
В рассматриваемом примере имеем b 1 = 8, b 2 = 6, b 3 = 5, b 4 = 7 . Минимальным из этих чисел является число 5. Т.е. правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.
Правило Гурвица
(взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i , на котором достигается максимум
, где 0 ≤ λ ≤ 1 .
Значение λ выбирается из субъективных соображений. Если λ приближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении λ к 0, правило Гурвица приближается к правилу "розового оптимизма" (догадайтесь сами, что это значит). В вышеуказанном примере при λ = 1/2 правило Гурвица рекомендует 2-е решение.
qi1 | qi2 | … | qin |
p1 |
p2 | … |
pn |
ri1 | ri2 | … | rin |
p1 |
p2 | … |
pn |
Пример №2
. Рассмотрим пример решения статистической игры в экономической задаче.
Сельскохозяйственное предприятие может реализовать некоторую продукцию:
А1) сразу после уборки;
А2) в зимние месяцы;
А3) в весенние месяцы.
Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами на хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных состояний-соотношений дохода и издержек (S1, S2 и S3), в течение всего периода реализации, представлен в виде матрицы (млн. руб.)
S1 | S2 | S3 | |
A1 | 2 | -3 | 7 |
A2 | -1 | 5 | 4 |
A3 | -7 | 13 | -3 |
S1 | S2 | S3 | Б | НО | ММ | П-О | Х-Л | |
А1 | 2 | -3 | 7 | 1 | 2 | -3 | 3 | -0,6 |
А2 | -1 | 5 | 4 | 3,5 | 2,7 | -1 | 2,6 | 1,7 |
А3 | -7 | 13 | -3 | 4,2 | 1 | -7 | 5 | -0,28 |
p j | 0,2 | 0,5 | 0,3 | А3 | А2 | А2 | А3 | А2 |
значит оптимальной по данному критерию является стратегия А3 – продавать в весенние месяцы.
W i | |||
0 | 16 | 0 | 16 |
3 | 8 | 3 | 8 |
9 | 0 | 10 | 10 |
Пример №2
. В обычной стратегической игре каждый игрок предпринимает именно те действия, которые наиболее выгодны ему и менее выгодны противнику. При этом предполагается, что игроки – разумные и антагонистические противники. Однако очень часто присутствует неопределенность, которая не связана с сознательным противодействием противника, а зависит от некоторой объективной действительности.
Сельскохозяйственное предприятие имеет три участка земли: влажный, средней влажности и сухой. Один из этих участков предполагается использовать для выращивания картофеля, остальные – для посева зеленой массы. Для получения хорошего урожая картофеля требуется определенное количество влаги в почве в период вегетации. При излишней влажности посаженый картофель на некоторых участках может гнить, а при недостаточном количестве осадков будет плохо развиваться, что приводит к снижению урожайности. Определить, на каком участке сеять картофель, чтобы получить хороший урожай его, если известна средняя урожайность картофеля на каждом участке в зависимости от погодных условий. На участке A 1
урожайность составляет 200, 100 и 250 ц с 1 га при выпадении соответственно нормального количества осадков, больше и меньше нормы. Аналогично на участке A 2
– 230, 120 и 200 ц, а на участке A 3
– 240, 260 и 100 ц.
Используем игровой подход. С/х предприятие – игрок A
, у которого три стратегии: A 1
– сеять картофель на влажном участке, A 2
– на участке средней влажности, A 3
– на сухом участке. Игрок П
– природа, у которого три стратегии: П 1
соответствует количеству осадков меньше нормы, П 2
– норме, П 3
– больше нормы. Выигрыш с/х предприятия при каждой паре стратегий (A i
, П j
) задается урожайностью картофеля с 1 га.
П
A | П 1 | П 2 | П 3 |
A 1 | 250 | 200 | 100 |
A 2 | 200 | 230 | 120 |
A 3 | 100 | 240 | 260 |
Пример 9.
Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение августа-сентября на единицу продукции составили: платья – 7 ден. ед., костюмы – 28 ден. ед. Цена реализации составляет 15 и 50 ден. ед. соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды 1 950 платьев и 610 костюмов, а при прохладной погоде – 630 платьев и 1 050 костюмов.
Составить платежную матрицу.
Решение.
У фирмы две стратегии: A 1
: выпустить продукцию, считая, что погода будет теплой; A 2
: выпустить продукцию, считая, что погода будет прохладной.
У природы две стратегии: B 1
: погода теплая; B 2
: погода прохладная.
Найдем элементы платежной матрицы:
1) a 11 – доход фирмы при выборе стратегии A 1
при условии B 1
:
a 11 =(15-7)·1950+(50-28)·610=29020.
2) a 12 – доход фирмы при выборе A 1
при условии B 2
. Фирма выпустит 1 950 платьев, а продаст 630, доход от реализации платьев
(15-7)·630-7·(1950-630)=5040-9240
a 12 =5040-9240+22·610=9220.
3) аналогично при стратегии A 2
в условиях B 1
фирма выпустит 1 050 костюмов, а продаст 610;
a 21 =8·630+22·610-28·(1050-610)=6140
4) a 22 =8·630+22·1050=28140
Платежная матрица:
20 020 | 9 220 |
6 140 | 28 140 |
Пример 2
. Объединение производит разведку полезных ископаемых на трех месторождениях. Фонд средств объединения составляет 30 ден. ед. Деньги в первое месторождение M 1
могут быть вложены в количестве, кратном 9 ден. ед., во второе M 2
– 6 ден. ед., в третье M 3
– 15 ден. ед. Цены на полезные ископаемые в конце планового периода могут оказаться в двух состояниях: C 1
и C 2
. Эксперты установили, что в ситуации C 1
прибыль от месторождения M 1
составит 20 % от количества вложенных ден. ед. на разработку, на M 2
– 12 % и на M 3
– 15 %. В ситуации C 1
на конец планового периода прибыль составит 17 %, 15 %, 23 % на месторождениях M 1
, M 3
, M 3
соответственно.
Игрок A
– объединение. Игрок П
(природа) – совокупность внешних обстоятельств, которые обуславливают ту или иную прибыль на месторождениях. У игрока A
имеется четыре возможности, полностью использующие имеющиеся средства. Первая стратегия, A
1 , состоит в том, что A
вложит в M
1 9 ден. ед., в M
2 – 6 ден. ед., в M
3 – 15 ден. ед. Вторая стратегия A
2: в M
1 – 18 ден. ед., в M
2 – 12 ден. ед., в M
3 деньги не вкладывать. Третья стратегия, A
3: 30 ден. ед. вложить в M
3 . Четвертая стратегия, A
4:. 30 ден. ед. вложить в M
2 . Кратко можно записать A
1 (9, 6, 15), A
2 (18, 12, 0), A
3 (0, 0, 30), A
4 (0, 30, 0).
Природа может реализовать одно из двух своих состояний, характеризующихся различными ценами на полезные ископаемые в конце планового периода. Обозначим состояния природы П
1 (20 %, 12 %, 15 %), П
2 (17 %, 15 %, 23 %).
Элементы a ij платежной матрицы имеют смысл суммарной прибыли, получаемой объединением в различных ситуациях (A i
, П j
) (i
=1, 2, 3, 4, j
= 1, 2). Например, вычислим a
12 , отвечающий ситуации (A 1
, П 2
), т. е. случаю, когда объединение вкладывает в месторождения M
1 , M
2 , M
3 , соответственно 9 ден. ед., 6 ден. ед., 15 ден. ед., и на конец планового периода цены оказались в состоянии C 2
:
a 12
= 9·0,17+6·0,15+15·0,23 = 5,88 ден. ед.
Пример 3 . Ожидается наступление наводнения, которое может иметь категорию с первой по пятую. Величина ущерба от наводнения:
Категория наводнения | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Ущерб, ден. ед. | 5 | 10 | 13 | 16 | 20 |
Высота дамбы | h 1 | h 2 | h 3 | h 4 | h 5 |
Затраты, ден. ед. | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
П / A | П 0 | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | П 5 |
A 0 | 0 | 5 | 10 | 13 | 16 | 20 |
A 1 | 2 | 2 | 12 | 15 | 18 | 22 |
A 2 | 4 | 4 | 4 | 17 | 20 | 24 |
A 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 22 | 26 |
A 4 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 28 |
A 5 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
П / A | П 0 | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | П 5 |
A 0 | 30 | 25 | 20 | 17 | 14 | 10 |
A 1 | 28 | 28 | 18 | 15 | 12 | 8 |
A 2 | 26 | 26 | 26 | 13 | 10 | 6 |
A 3 | 24 | 24 | 24 | 24 | 8 | 4 |
A 4 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 2 |
A 5 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Задача второго игрока минимизация проигрыша V | Задача первого игрока максимизация выигрыша V |
Целевая функция | |
F / = x 1 +x 2 +x 3 = → max | F = y 1 +y 2 +y 3 = → min |
Функциональные ограничения | |
Прямые ограничения | |
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0 | y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0 |
Пример
. Планирование выпуска продукции при разных состояниях природы - рынка спроса.
Предприятие может выпускать 4 вида продукции: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , получая при этом прибыль. Её величина определяется состоянием спроса (природой рынка), который может находиться в одном из четырёх возможных состояний: B 1 , B 2 , B 3 , B 4 . Зависимость величины прибыли от вида продукции и состояния рынка представлено в таблице:
Виды продукции | Возможные состояния рынка спроса | |||
B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | |
A 1 | 4 | 3 | 5 | 6 |
A 2 | 2 | 6 | 1 | 5 |
A 3 | 3 | 0 | 7 | 2 |
A 4 | 3 | 5 | 1 | 3 |
Задача второго игрока минимизация проигрыша V | Задача первого игрока максимизация выигрыша V |
Целевая функция | |
F / = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =→ max | F = y 1 +y 2 +y 3 +y 4 =→ min |
Функциональные ограничения | |
|
|
Прямые ограничения | |
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 |
y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0 |
Пример . Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса П j , j=1,4 (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A 1 , А 2 , А 3 . Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.
А j | П j | |||
П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | |
А 1 | 30 +N | 10 | 20 | 25 + N/2 |
А 2 | 50 | 70 - N | 10 + N/2 | 25 |
А 3 | 25 – N/2 | 35 | 40 | 60 - N/2 |
Решение
находим с помощью калькулятора .
Критерий Байеса
.
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A i , при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(a ij p j)
∑(a 1,j p j) = 33 0.3 + 10 0.2 + 20 0.4 + 26.5 0.1 = 22.55
∑(a 2,j p j) = 50 0.3 + 67 0.2 + 11.5 0.4 + 25 0.1 = 35.5
∑(a 3,j p j) = 23.5 0.3 + 35 0.2 + 40 0.4 + 58.5 0.1 = 35.9
A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | ∑(a ij p j) |
A 1 | 9.9 | 2 | 8 | 2.65 | 22.55 |
A 2 | 15 | 13.4 | 4.6 | 2.5 | 35.5 |
A 3 | 7.05 | 7 | 16 | 5.85 | 35.9 |
p j | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | ∑(a ij) |
A 1 | 8.25 | 2.5 | 5 | 6.63 | 22.38 |
A 2 | 12.5 | 16.75 | 2.88 | 6.25 | 38.38 |
A 3 | 5.88 | 8.75 | 10 | 14.63 | 39.25 |
p j | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | min(a ij) |
A 1 | 33 | 10 | 20 | 26.5 | 10 |
A 2 | 50 | 67 | 11.5 | 25 | 11.5 |
A 3 | 23.5 | 35 | 40 | 58.5 | 23.5 |
A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 |
A 1 | 17 | 57 | 20 | 32 |
A 2 | 0 | 0 | 28.5 | 33.5 |
A 3 | 26.5 | 32 | 0 | 0 |
A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | max(a ij) |
A 1 | 17 | 57 | 20 | 32 | 57 |
A 2 | 0 | 0 | 28.5 | 33.5 | 33.5 |
A 3 | 26.5 | 32 | 0 | 0 | 32 |
A i | П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | min(a ij) | max(a ij) | y min(a ij) + (1-y)max(a ij) |
A 1 | 33 | 10 | 20 | 26.5 | 10 | 33 | 21.5 |
A 2 | 50 | 67 | 11.5 | 25 | 11.5 | 67 | 39.25 |
A 3 | 23.5 | 35 | 40 | 58.5 | 23.5 | 58.5 | 41 |
Руководство компании принимает решение о размещении производства нового продукта в некотором месте. Чтобы сформировать представление о ситуации на рынке нового продукта на момент освоения производства, ему необходимо учесть затраты на доставку готовой продукции до потребителя, развитость транспортной и социальной инфраструктуры региона, конкуренцию на рынке, соотношение спроса и предложения, курсы валют и многое другое. Возможные варианты решений, инвестиционная привлекательность которых определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, представлены в таблице.
Выбрать:
1) место для размещения производства, если руководитель предприятия уверен в том, что на рынке сложится ситуация 4;
2) место для размещения производства, если руководство оценивает вероятность ситуации 1 в 0,2; ситуации 2 в 0,1; ситуации 3 в 0,25;
3) провести выбор варианта в условиях неопределенности по критерию: максимакс, максимин, критерий Лапласа, критерий Сэведжа, критерий Гурвица (y = 0,3);
4) изменится ли наилучший вариант решения по критерию Гурвица если величину a увеличить до 0,5?
5) предположив, что данные таблицы представляют затраты предприятия, определить выбор, который сделает предприятие при использовании каждого из следующих критериев: максимин; максимакс; критерий Гурвица(? = 0,3); критерий Сэведжа; критерий Лапласа
0.07 | 0.26 | 0.11 | 0.25 | 0.1 | 0.21 |
68 | 45 | 54 | 79 | 47 | 99 |
56 | 89 | 42 | 56 | 74 | 81 |
72 | 87 | 56 | 40 | 62 | 42 |
65 | 48 | 75 | 89 | 52 | 80 |
69 | 93 | 93 | 56 | 45 | 43 |
73 | 94 | 79 | 68 | 67 | 46 |
66 | 100 | 64 | 89 | 94 | 49 |
70 | 42 | 97 | 42 | 42 | 50 |
А j | П j | |||
П 1 | П 2 | П 3 | П 4 | |
А 1 | 30 +N | 10 | 20 | 25 + N/2 |
А 2 | 50 | 70 - N | 10 + N/2 | 25 |
А 3 | 25 – N/2 | 35 | 40 | 60 - N |
Уклонение от риска . Полностью устранить возможность убытков чрезвычайно трудно, поэтому на практике это означает не брать на себя риск выше привычного уровня.
Предотвращение убытков . Инвестор может попытаться уменьшить, но не полностью устранить конкретные убытки. Предупреждение потерь означает возможность уберечься от случайностей при помощи конкретного набора превентивных действий. Под превентивными мерами понимают меры, направленные на предупреждение непредвиденных событий с целью снижения вероятности и величины убытков. Обычно для предотвращения убытков применяются такие меры, как постоянный контроль и анализ информации на рынке ценных бумаг; сохранность капитала, вложенного в ценные бумаги, и пр. Каждый инвестор заинтересован в предупредительной деятельности, однако ее осуществление не всегда возможно по техническим и экономическим причинам и нередко связано со значительными затратами.
К превентивным мероприятиям можно, на наш взгляд, отнести ре- портинг. Репортинг представляет собой систематическое документи-рование всей информации, связанной с анализом и оценкой внешних и внутренних рисков, с фиксированием остаточного риска после принятия всех мер по управлению рисками и пр. Вся эта информация должна быть занесена в определенные базы данных и бланки отчетности, которые легко в дальнейшем использовать инвесторам.
Минимизация потерь . Инвестор может попытаться предотвратить значительную часть своих убытков. Методами минимизации потерь являются диверсификация и лимитирование.
Диверсификация
- это метод, направленный на снижение риска, при котором инвестор вкладывает свои средства в разные сферы (различные виды ценных бумаг, предприятия различных отраслей экономики), чтобы в случае потери в одной из них компенсировать это за счет другой сферы.
Диверсификация портфеля ценных бумаг предполагает включение в состав портфеля разнообразных ценных бумаг с различными харак-теристиками (уровнями риска, доходности, ликвидности и др.). Возможные невысокие доходы (или убытки) по одним ценным бумагам будут компенсироваться высокими доходами по другим ценным бумагам. Подбор диверсифицированного портфеля требует определенных усилий, связанных прежде всего с поиском полной и достоверной информации об инвестиционных качествах ценных бумаг. Чтобы обеспечить устойчивость портфеля, инвестор ограничивает размер вложений в ценные бумаги одного эмитента, добиваясь таким образом снижения степени риска. При вложении средств в акции предприятий различных отраслей народного хозяйства осуществляется отраслевая диверсификация.
Диверсификация - один из немногих методов управления рисками, который может использовать любой инвестор. Однако заметим, что ди-версификация позволяет уменьшить только несистематический риск. А на риск вложения капитала оказывают влияние процессы, происходящие в экономике в целом, такие, как движение ставки банковского процента, ожидание подъема или спада и прочее, и риск, связанный с ними, нельзя уменьшить с помощью диверсификации. Поэтому инвестору необходимо использовать другие способы снижения риска.
Лимитирование - это установление предельных сумм (лимита) вложения капитала в определенные виды ценных бумаг и т. п. Установление размера лимитов представляет собой многошаговую процедуру, включающую установление перечня лимитов, размера каждого из них, их предварительный анализ. Соблюдение установленных лимитов обеспечивает экономические условия для сохранения капитала, получения устойчивого дохода и защиты интересов инвесторов.
Поиск информации - это метод, направленный на снижение риска путем нахождения и использования необходимой информации для принятия инвестором рискового решения.
Принятие ошибочных решений в большинстве случаев связано с отсутствием или недостатком информации. Асимметричность информации, когда отдельные участники рынка имеют доступ к важной информации, которой не имеют остальные заинтересованные лица, мешает инвесторам вести себя рациональным образом и является барьером на пути эффективного использования ресурсов и средств.
Получение необходимой информации, повышение уровня информационного обеспечения инвестора может в значительной мере улучшить прогноз и снизить риск. Чтобы определить количество необходимой информации и целесообразность ее покупки, следует сравнить ожидаемые от нее предельные выгоды с ожидаемыми предельными издержками, связанными с ее получением. Если ожидаемая выгода от покупки информации превышает ожидаемые предельные издержки, то такую информацию необходимо приобрести. Если же наоборот, то от покупки такой дорогой информации лучше отказаться.
В настоящее время существует сфера бизнеса, называемая экаутингом, связанная со сбором, обработкой, классификацией, анализом и оформлением различных видов финансовой информации. Инвесторы могут воспользоваться услугами профессионалов в этой сфере бизнеса.
Методы минимизации убытков нередко называют методами контроля за риском. Применение всех этих методов предотвращения и сокращения потерь связано с определенными затратами, которые не должны превышать возможных размеров ущерба. Как правило, увеличение затрат по предотвращению риска ведет к снижению его опасности и ущербов, им вызываемых, но лишь до определенного предела. Этот предел наступает тогда, когда сумма годовых затрат по предотвращению риска и снижению его размеров становится равной предполагаемой сумме годового ущерба от реализации риска.
Методы возмещения (с наименьшими затратами) убытков применяются тогда, когда инвестор несет убытки, несмотря на усилия по минимизации своих убытков.
Передача риска . Чаще всего передача риска происходит путем хед-жирования и страхования.
Хеджирование - это система заключения срочных контрактов и сделок, учитывающая вероятные в будущем изменения цен, курсов и преследующая цель избежать неблагоприятных последствий этих изменений. Сущность хеджирования состоит в покупке (продаже) срочных контрактов одновременно с продажей (покупкой) реального товара с тем же сроком поставки и проведения обратной операции с наступлением срока фактической продажи товара. В результате происходит сглаживание резких колебаний цен. В рыночной экономике хеджирование является распространенным способом снижения риска.
По технике осуществления операций различают два вида хеджирования:
Хеджирование на повышение (хеджирование покупкой или длинный хедж) представляет собой биржевую операцию по покупке срочных контрактов (форвардных, опционов и фьючерсных). Хеджирование на повышение применяется в тех случаях, когда необходимо застраховаться от возможного повышения курсов (цен) в будущем. Оно позволяет установить покупную цену намного раньше, чем будет приобретен реальный актив.
Хеджирование на понижение (хеджирование продажей или короткий хедж) представляет собой биржевую операцию по продаже срочных контрактов. Хеджирование на понижение применяется в тех случаях, когда необходимо застраховаться от возможного снижения курсов (цен) в будущем.
Хеджирование может быть осуществлено с помощью операций с фьючерсными контрактами и с опционами.
Хеджирование фьючерсными контрактами подразумевает использование стандартных (по срокам, объемам и условиям поставки) контрактов на куплю-продажу ценных бумаг в будущем, обращающихся исключительно на биржах.
Положительными сторонами хеджирования с помощью фьючерсных контрактов являются:
Отрицательными сторонами хеджирования с помощью фьючерсных контрактов являются:
Хеджирование помогает снизить риск от неблагоприятного изменения цены или курсов, но не дает возможности воспользоваться благоприятным изменением цены. При операции хеджирования риск не исчезает, он меняет своего носителя: инвестор перекладывает риск на биржевого спекулянта.
Страхование - это метод, направленный на снижение риска путем превращения случайных убытков в относительно небольшие постоянные издержки. Покупая страховку (заключая договор страхования), инвестор передают риск страховой компании, которая возмещает разного рода потери, ущербы, вызванные неблагоприятными событиями путем выплаты страхового возмещения и страховых сумм. За эти услуги она получает от инвестора гонорар (страховую премию).
Режим страхования рисков в страховой компании устанавливается с учетом страховой премии, дополнительных услуг, предоставляемых страховой компанией, и финансового положения страхователя. Инвестор должен определить приемлемое для него соотношение между страховой премией и страховой суммой с учетом дополнительных услуг, предоставляемых страховой компанией.
Если инвестор внимательно и четко оценивает баланс риска, то он тем самым создает предпосылки для избежания ненужного риска. Каждая возможность должна быть использована для повышения предсказуемости вероятных убытков с тем, чтобы инвестор мог иметь данные, необходимые для исследования всех вариантов своих выплат. И тогда он будет обращаться к страховой компании только в случаях катастрофического риска, т. е. очень высокого по степени вероятности и по возможным последствиям.
Передача контроля за риском . Инвестор может доверить контроль за риском другому лицу или группе лиц путем передачи:
Инвестор может продать какие-либо цепные бумаги, чтобы избежать инвестиционного риска, может передать свое имущество (ценные бумаги, денежные средства и др.) в доверительное управление профессионалам (трастовым компаниям, инвестиционным компаниям, финансовым брокерам, банкам и др.), тем самым передав все риски, связанные с этим имуществом и деятельностью по управлению им. Инвестор может передать риск, передав определенное направление деятельности, например передать функции по нахождению оптимального страхового покрытия и портфеля страховщиков страховому брокеру, который будет этим заниматься.
Распределение риска - это метод, при котором риск вероятного ущерба или потерь делится между участниками так, что возможные потери каждого невелики. Этот метод лежит в основе рискового финансирования. На этом методе основывается существование различных коллективных фондов, коллективных инвесторов.
Основным принципом рискового финансирования является разделение и распределение риска за счет:
Фонды рискового (венчурного) финансирования связаны как с управлением отдельными предприятиями, так и с организацией самостоятельных рисковых фирм-инвесторов. Основной целью таких фондов является поддержка стартовых наукоемких компаний (венчуров), которые в случае неудачи всего проекта возьмут на себя часть финансовых потерь. Венчурный капитал используется для финансирования новейших научно-технических разработок, их внедрения, выпуска новых видов продукции, оказания услуг и формируется из взносов отдельных вкладчиков, крупных корпораций, правительственных ведомств, страховых компаний, банков.
На практике риски не поделены строго по отдельным категориям, и нелегко дать точные рекомендации по управлению рисками, тем не менее предлагаем использовать следующую схему управления рисками.
Схема управления рисками:
Каждый из перечисленных методов разрешения риска имеет свои достоинства и недостатки. Конкретный метод выбирается в зависимости от вида риска. Инвестор (или специалист, занимающийся проблемами риска) выбирает для снижения риска методы, больше других способные влиять на величину доходов или стоимости его капитала. Инвестор должен решить, выгоднее ли прибегнуть к традиционной диверсификации или использовать какой-либо иной метод управления рисками, чтобы наиболее надежно обеспечить покрытие возможных убытков и в наименьшей степени ущемить свои финансовые интересы. Сочетание сразу нескольких методов в конечном итоге может оказаться наилучшим решением.
С точки зрения минимизации расходов любой метод снижения риска должен быть задействован, если он требует наименьших затрат. Расходы по предотвращению риска и минимизации потерь не должны превышать возможных размеров ущерба. Каждый метод должен использоваться до тех пор, пока затраты на его применение не начнут превышать отдачу.
Снижение уровня риска вызывает необходимость технических, организационных мероприятий, требующих определенных, а во многих случаях и значительных затрат. А это не всегда целесообразно. Таким образом, экономические соображения устанавливают некоторые пределы снижения степени риска для конкретного инвестора. При решении вопросов о снижении риска необходимо сопоставить ряд показателей, относящихся к расходам, обеспечивающим приемлемый уровень риска и ожидаемый эффект.
Обобщив вышеперечисленные методы управления портфельными рисками, можно выделить две формы управления портфелями ценных бумаг:
Пассивная форма управления состоит в создании хорошо диверсифицированного портфеля с заранее определенным уровнем риска и продолжительным сохранением портфеля в неизменном состоянии.
Пассивная форма управления портфелями ценных бумаг осуществляется с помощью следующих основных методов:
Как уже отмечалось, диверсификация предполагает включение в состав портфеля разнообразных ценных бумаг с различными характеристиками. Подбор диверсифицированного портфеля требует определенных усилий, связанных прежде всего с поиском полной и достоверной информации об инвестиционных качествах ценных бумаг. Структура диверсифицированного портфеля ценных бумаг должна соответствовать определенным целям инвесторов. При вложении средств в акции промышленных компаний осуществляется отраслевая диверсификация.
Индексный метод , или метод зеркального отражения, построен на том, что в качестве эталона берется определенный портфель ценных бумаг. Структура портфеля-эталона характеризуется определенными индексами. Далее этот портфель зеркально повторяется. Использование данного метода осложняется трудностью подбора эталонного портфеля.
Сохранение портфеля основано на поддержании структуры и сохранении уровня общих характеристик портфеля. Не всегда удается сохранить неизменной структуру портфеля, так как с учетом нестабильной ситуации на российском фондовом рынке приходится покупать другие ценные бумаги. При крупных операциях с ценными бумагами может произойти изменение их курса, которое повлечет за собой изменение текущей стоимости активов. Возможна ситуация, когда сумма продажи ценных бумаг акционерных компаний превышает стоимость их покупки. В этом случае управляющий должен продать часть портфеля ценных бумаг, чтобы произвести выплаты клиентам, возвращающим компании свои акции. Крупные объемы продаж могут оказать понижающее воздействие на курсы ценных бумаг компании, что негативно сказывается на ее финансовом положении.
Сущность активной формы управления состоит в постоянной работе с портфелем ценных бумаг. Базовыми характеристиками активного управления являются:
Если прогнозируется снижение процентной ставки ЦБ РФ, то рекомендуется покупать долгосрочные облигации с низким доходом но купонам, курс которых быстро повышается при падении процентной ставки. При этом следует продать краткосрочные облигации с высокой доходностью по купонам, так как их курс в данной ситуации будет падать. Если динамика процентной ставки обнаруживает неопределенность, то управляющий превратит значительную часть портфеля ценных бумаг в активы повышенной ликвидности (например в срочные счета).
При выборе стратегии инвестирования факторами, определяющими отраслевую структуру инвестиционного портфеля, остаются риск и доходность инвестиций. При выборе ценных бумаг факторами, определяющими доходность инвестиций, являются рентабельность производства и перспективы роста объема продаж.
Рассмотрим классическую схему принятия решений в условиях неопределённости.
Напомним, что финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку, и цель проведения которой заключается в максимизации дохода – разности между конечной и начальной оценками. Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределённости и поэтому их результат невозможно предсказать заранее. Проводящий операцию называется ЛПР – Лицо, Принимающее Решение (во многих случаях ЛПР – это инвестор). Операция называется рискованной , если она может иметь несколько исходов, не равноценных для ЛПР.
Задача. Рассмотрим 3 операции с одним и тем же множеством двух исходов – альтернатив А и В, которые характеризуют доходы, получаемые ЛПР.
Все 3 операции рискованные. Для 1-ой и 2-ой это очевидно, но почему считается рискованной 3-я операция? Ведь она сулит только положительные доходы ЛПР? Рассматривая возможные исходы 3-ей операции, видим, что можем получить доход в размере 20 ед., поэтому возможность получения дохода в 15 ед. рассматривается как неудача, как риск недополучить 5 ед. дохода.
Как оценить финансовую операцию с точки зрения её доходности и риска? На этот вопрос не так просто ответить, главным образом из-за многогранности понятия риска. Существует несколько разных способов такой оценки. Рассмотрим один из таких подходов.
Матрицы последствий и рисков. Пусть рассматривается вопрос о проведении финансовой операции, имеющей несколько возможных исходов. В связи с этим проводится анализ возможных решений и их последствий. Предположим, что ЛПР рассматривает m возможных решений: i = 1,…, m . Ситуация неопределённа, известно лишь, что имеет место один из n вариантов: j = 1,…, n . Если будет принято i -тое решение, а ситуация сложится j -тая, то доход, полученный ЛПР будет равен q ij . Матрица Q = (q ij ) называется матрицей последствий (возможных решений ). Какое же решение нужно принять ЛПР? В этой неопределённой ситуации могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме? Допустим, мы хотим оценить риск, который несёт i -тое решение. Нам неизвестна реальная ситуация, но если бы мы её знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Если ситуация j -тая, то принимается решение, дающее доход . Значит, принимаяi -тое решение, мы рискуем получить не , а толькоq ij , т.е. принятие i -того решения несёт риск недобрать . МатрицуR = () называютматрицей рисков .
Задача. Пусть есть матрица последствий:.
Составим матрицу рисков:.
Ситуация полной неопределённости характеризуется отсутствием какой бы то ни было дополнительной информации (например, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации). Какие же существуют правила-рекомендации по принятию решений в этой ситуации?
Правило Вальда (правило крайнего пессимизма ). Если руководствоваться этим критерием, надо всегда ориентироваться на худшие условия, зная наверняка, что «хуже этого не будет». Рассматривая i -тое решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход: . Теперь выберем решениеi 0 с наибольшим :. В задаче имеемИз этих чисел находим максимальное – 3. Правило Вальда рекомендует принять 3-е решение. Очевидно, такой подход – «перестраховочный», естественный для того, кто очень боится проиграть.
Правило Сэвиджа (правило минимального риска ). Этот критерий тоже крайне пессимистический, но при выборе оптимальной стратегии советует ориентироваться не на величину дохода, а на риск. При применении этого правила анализируется матрица рисков R = ().Рассматриваяi -тое решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска . Теперь выберем решениеi 0 с наименьшим :. В задаче имеемВ задаче имеемИз этих чисел находим минимальное – 5. Правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение. Сущность такого подхода в том, чтобы всячески избегать большого риска при принятии решения.
Правило Гурвица (пессимизма-оптимизма ). Этот критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Принимается решение, при котором достигается максимум , где- «коэффициент пессимимзма». Значениевыбирается из субъективных соображений. Еслиприближается к 1, правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближениик 0 правило Гурвица приближается к правилу «крайнего оптимизма», рекомендующему выбирать ту стратегию, при которой выигрыш в строке максимален. В задаче прикритерий Гурвица рекомендует 2-ое решение.
Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности того, что реальная ситуация развивается по вариантуj . Такое положение называется частичной неопределённостью . Какие рекомендации по принятию решения в этом случае? Можно руководствоваться одним из следующих правил.
Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый компанией при реализации i -ого решения, является случайной величиной с законом распределения
q i1 |
q i2 |
q in |
||
Математическое ожидание этой случайной величины и есть средний ожидаемый доход. Критерий рекомендует принять решение, максимизирующее средний ожидаемый доход.
Задача. Пусть в предыдущей задаче ТогдаМаксимальный средний ожидаемый доход равен 7, что соответствует 3-ему решению.
Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации i -ого решения является случайной величиной с законом распределения
r i1 |
r i2 |
r in |
||
Математическое ожидание этой случайной величины и есть средний ожидаемый риск. Критерий рекомендует принять решение, минимизирующее средний ожидаемый риск.
Метод минимального риска используется для определения граничного значения определяющего параметра для принятия решения о состоянии объекта, исходя из условия минимума средних затрат.
Пусть состояние некоторого объекта определяется значением некоторого параметра х. необходимо выбрать такое значение этого параметра х 0 , чтобы:
Исправное состояние характеризуется плотностью распределения параметра х, f (x / D 1) а неисправное – f(x / D 2) (рис 2.8). Кривые f (x / D 1) и f(x / D 2) пересекаются и поэтому невозможно выбрать х 0 так, чтобы правило (2.16) не давало бы ошибочных решений.
Возникающие при принятии решения ошибки подразделяют на ошибки первого и второго рода.
Ошибка первого рода – принятие решения о неисправности (наличии дефекта) объекта, когда в действительности объект находится в исправном состоянии.
Ошибка второго рода – принятие решения об исправном состоянии объекта, когда в действительности объект находится в неисправном состоянии (объект содержит дефект).
Вероятность ошибки первого рода равна произведению вероятности двух событий:
вероятности того, что объект находится в исправном состоянии;
вероятности того, что значение определяющего параметра х превысит граничное значение х 0 .
Выражение для определения вероятности ошибки первого рода имеет вид:
где p(D 1 ) – априорная вероятность нахождения объекта в исправном состоянии (считается известной на основании предварительных статистических данных).
Аналогично определяется вероятность ошибки второго рода:
Рис. 2.8. Плотности вероятностей состояний объекта диагностирования
Для согласования первичного преобразователя с устройствами системы сбора информации его выходной сигнал должен быть унифицирован, т.е. отвечать некоторым требованиям по уровню, мощности, виду носителя информации и т.д., которые определяются соответствующими ГОСТ.
Для преобразования выходных сигналов первичных преобразователей в унифицированные применяется ряд нормирующих преобразователей. На вход нормирующих преобразователей могут подаваться естественные сигналы первичных преобразователей различных физических величин, а на выходе формируются соответствующие унифицированные сигналы.
Группа средств, обеспечивающих унификацию сигнала между его источником или выходом первичного преобразователя и входом вторичного устройства, относится к классу унифицирующих измерительных преобразователей (УИП).
Различают следующие типы УИП:
индивидуальные;
групповые;
многоканальные.
Индивидуальные УИП (рис. 3.36а)) обслуживают один ПП и включаются между ПП и коммутатором или последующим измерительным преобразователем. Индивидуальные УИП размещаются вместе с ПП непосредственно на объекте исследования.
Они используются для унификации сигналов при сравнительно небольшом количестве измеряемых параметров и при ограниченном времени измерения, не позволяющем использовать групповые УИП.
Индивидуальные УИП позволяют производить:
преобразование одного унифицированного сигнала в другой;
гальваническую развязку входных цепей;
размножение входного сигнала по нескольким выходам.
Однако применение в каждом измерительном комплексе ИИС своего УИП усложняет систему и снижает ее надежность и экономическую эффективность.
Групповые УИП (рис. 3.36б)) являются более эффективными с этой точки зрения они обслуживают определенную группу первичных преобразователей, выходные сигналы которых представляют собой однородные физические величины. Они располагаются в Ииспосле коммутатора и управляются совместно с последним блоком управления.
При построении многоканальных ИИС разнородных физических величин последние группируются по роду физической величины, а каждая группа подключается к соответствующему групповому УИП.
Многоканальные УИП. (рис. 3.36в)) Если измеряемые физические величины в основном разнородные, то в ИИС могут применяться многоканальные УИП, которые представляют собой объединенные в одном корпусе или одной плате несколько индивидуальных УИП. Преобразование информации осуществляется поn входам иn выходам. Основной конструктивной особенностью многоканального УИП является использование общих источника питания и системы контроля для всех индивидуальных УИП.
Рис. 3.36.основные типы унифицирующих
измерительных преобразователей
Основные функции, выполняемые УИП:
линейные (масштабирование, установление нуля, температурная компенсация);
нелинейные (лианеризация) преобразования сигналов.
При линейной характеристике первичного преобразователя УИП выполняет линейные операции, которые называются масштабированием . Суть масштабирования заключается в следующем. Пусть входной сигнал изменяется в пределах отy 1 доy 2 , а динамический диапазон выходного сигнала УИП должен лежать в пределах от0 доz . Тогда для совмещения начала динамических диапазонов УИП и первичного преобразователя к сигналу ПП должен быть добавлен сигнал, а затем суммарный сигнал должен быть усилен враз.
Возможен также вариант, при котором выходной сигнал ПП сначала усиливается, а потом совмещаются начала динамических диапазонов.
Первый вариант приведения выходного сигнала к унифицированному виду обычно используется в индивидуальных УИП, а второй в групповых.
Т.к. связь между выходным сигналом yПП и измеряемым параметром чаще всего нелинейная (например, у термопар, платиновых термопреобразователей сопротивления и т.д.) УИП должен выполнять операциюлинеаризации . Линеаризация заключается в спрямлении функции преобразования ПП. В этом случае линеаризующая функция должна иметь вид обратной функции преобразования ПП.
Для линеаризации функции преобразования в УИП используются специальные нелинейные звенья. Они могут включаться до линейного
унифицирующего преобразователя, после него или в цепь обратной связи усилителя, используемого для изменения масштаба измеряемой величины.
U
вх
U
ОС
U
вых
R 1
R 2
R 3
R 4
R 5
D 1
D 2
D 3
Чаще всего линеаризация достигается кусочно–линейной аппроксимацией и выполняется с помощью цепочки последовательно соединенных резисторов, шунтированных стабилитронами или диодами Д 1 Д 3Рис. 3.37.структурная схема УИП
С ростом напряжения на выходе усилителя увеличивается ток делителя и падение напряжения на каждом из резисторов R 1 R 5 .как только падение напряжения на каком-либо из резисторов достигает напряжения пробоя соответствующего стабилитрона, стабилитрон начинает шунтировать этот резистор. Сопротивления резисторов подбираются таким образом, чтобы получать требуемую зависимость напряжения обратной связиU ОС инвертирующего усилителяУ , снимаемого с резистораR 5 , от выходного напряжения усилителя.
Типовой аналоговый УИП содержит в своем составе:
выходной усилитель;
устройство гальванической развязки;
функциональный преобразователь, линеаризующий сигнал ПП;
выходной усилитель;
стабилизированный источник питания.
Некоторые первичные преобразователи в качестве выходного имеют сигнал переменного тока такой сигнал модулируется либо по амплитуде (например, дифференциальные трансформаторные преобразователи), либо по частоте (например, пьезорезонаторы).
В качестве примера рассмотрим структурную схему УИП, предназначенного для преобразования переменного напряжения датчиков давления, перепада давления, расхода, уровня, паросодержания в унифицированный сигнал постоянного тока 0…5 мА (рис. 3.38.).
Рис. 3.38. Структурная схема УИП
Переменное напряжение с дифференциального трансформаторного первичного преобразователя демодулятором преобразуется в пропорциональное напряжение постоянного тока, которое усиливается магнитным МУ и электроннымУ усилителями постоянного тока, охваченными глубокой отрицательной обратной связью через устройство обратной связиОС , позволяющее при необходимости линеаризовать характеристику первичного преобразователя.
Унифицирующие измерительные преобразователи, работающие с частотными ПП, должны выполнять те же функции, что и УИП амплитудных ПП.
ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ
УДК 678.029.983
Составитель: В.А. Пиккиев.
Рецензент
Кандидат технических наук, доцент О.Г. Бондарь
Техническая диагностика электронных средств : методические рекомендации для проведения практических занятий по дисциплине «Техническая диагностика электронных средств»/ Юго-Зап. гос. ун-т.; сост.: В.А. Пиккиев, Курск, 2016. 8с.: ил.4, табл.2, прилож.1. Библиогр.:с. 9 .
Методические указания для проведения практических занятий предназначены для студентов направления подготовки 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств».
Подписано в печать. Формат 60х84 1\16 .
Усл. печ. л. Уч.-изд.л. Тираж 30 экз. Заказ. Бесплатно
Юго-Западный государственный университет.
ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. | |
1. Практическое занятие № 1. Метод минимального числа ошибочных решений | |
2. Практическое занятие № 2. Метод минимального риска | |
3. Практическое занятие № 3. Метод Байеса | |
4. Практическое занятие № 4. Метод наибольшего правдоподобия | |
5. Практическое занятие № 5. Метод минимакса | |
6. Практическое занятие № 6. Метод Неймана–Пирсона | |
7. Практическое занятие № 7. Линейные разделяющие функции | |
8. Практическое занятие № 8. Обобщенный алгоритм нахождения разделяющей гиперплоскости | |
ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .
Техническая диагностика рассматривает задачи диагностирования, принципы организации систем тестового и функционального диагноза, методы и процедуры алгоритмов диагноза для проверки неисправности, работоспособности и правильности функционирования, а также для поиска неисправностей различных технических объектов. Основное внимание уделяется логическим аспектам технической диагностики при детерминированных математических моделях диагноза.
Цель дисциплины состоит в освоении методов и алгоритмов технической диагностики.
Задачей курса является подготовка технических специалистов освоивших:
Современные методы и алгоритмы технической диагностики;
Модели объектов диагностирования и неисправностей;
Алгоритмы диагностирования и тесты;
Моделирование объектов;
Аппаратуру систем поэлементного диагностирования;
Сигнатурный анализ;
Системы автоматизации диагностирования РЭА и ЭВС;
Навыки разработки и построения моделей элементов.
Предусмотреные в учебном плане практические занятия, позволяют формировать у студентов профессиональные компетенции аналитического и творческого мышления путем приобретения практических навыков диагностики электронных средств.
Практические занятия предусматривают работу с прикладными задачами разработки алгоритмов поиска неисправностей электронных устройств и построению контролирующих тестов с целью их дальнейшего использования при моделировании функционирования этих устройств.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ОШИБОЧНЫХ РЕШЕНИЙ.
В задачах надежности рассматриваемый метод часто дает «неосторожные решения», так как последствия ошибочных решений существенно различаются между собой. Обычно цена пропуска дефекта существенно выше цены ложной тревоги. Если указанные стоимости приблизительно одинаковы (для дефектов с ограниченными последствиями, для некоторых задач контроля и др.), то применение метода вполне оправдано.
Вероятность ошибочного решения определяется так
D 1 - диагноз исправного состояния;
D 2 - диагноз дефектного состояния;
P 1 -вероятность 1 диагноза;
P 2 - вероятность 2-го диагноза;
x 0 - граничное значение диагностического параметра.
Из условия экстремума этой вероятности получаем
Условие минимума дает
Для одномодальных (т. е. содержат не более одной точки максимума) распределений неравенство (4) выполняется, и минимум вероятности ошибочного решения получается из соотношения (2)
Условие выбора граничного значения (5) называется условием Зигерта–Котельникова (условием идеального наблюдателя). К этому условию приводит также метод Байеса.
Решение x ∈ D1 принимается при
что совпадает с равенством (6).
Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым.
В рассматриваемом случае плотности распределений будут равны:
Таким образом, полученные математические модели(8-9) могут быть использованы для диагностики ЭС.
Пример
Диагностика работоспособности жестких дисков осуществляется по количеству битых секторов (Reallocated sectors). Фирма Western Digital при производстве ЖД модели “My Passport” использует следующие допуски: Исправными считаются диски у которых среднее значение составляет х 1 = 5 на единицу объема и среднеквадратичное отклонение σ 1 = 2 . При наличии дефекта магнитного напыления (неисправное состояние) эти значения равны х 2 = 12, σ 2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными.
Требуется определить предельное количество неисправных секторов, выше которого жесткий диск подлежит снятию с эксплуатации и разборке (во избежание опасных последствий). По статистическим данным, неисправное состояние магнитного напыления наблюдается у 10% ЖД.
Плотности распределения:
1. Плотность распределения для исправного состояния:
2. Плотность распределения для дефектного состояния:
3. Разделим плотности состояния и приравняем к вероятностям состояний:
4. Прологарифмируем данное равенство и найдем предельное количество неисправных секторов:
Это уравнение имеет положительный корень x 0 =9,79
Критическое количество битых секторов равно 9 на единицу объема.
Варианты задания
№ п/п | х 1 | σ 1 | х 2 | σ 2 |
Вывод : Использование данного метода позволяет принимать решение без оценки последствий ошибок, из условий задачи.
Недостатком является то, что указанные стоимости приблизительно одинаковы.
Применение данного метода, распространено в приборостроение и машиностроении.
Практическое занятие № 2
МЕТОД МИНИМАЛЬНОГО РИСКА
Цель работы: изучение метода минимального риска для диагностики технического состояния ЭС.
Задачи работы :
Изучить теоретические основы метода минимального риска;
Провести практические расчеты;
Сделать выводы по использованию метода минимального риска ЭС.
Теоретические пояснения .
Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риск.
Где D1- диагноз исправного состояния; D2- диагноз дефектного состояния; P1-вероятность 1 диагноза; P2- вероятность 2-го диагноза; x0- граничное значение диагностического параметра; С12- стоимость ложной тревоги.
Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта. В задачах надежности стоимость пропуска дефекта обычно существенно больше стоимости ложной тревоги (C12 >> C21). Иногда вводится цена правильных решений С11 и С22, которая для сравнения со стоимостью потерь (ошибок) принимается отрицательной. В общем случае средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством
Где С11, С22 - цена правильных решений.
Величина x, предъявляемая для распознавания, является случайной и потому равенства (1) и (2) представляют собой среднее значение (математическое ожидание) риска.
Найдем граничное значение x0 из условия минимума среднего риска. Дифференцируя (2) по x0 и приравнивая производную нулю, получим сначала условие экстремума
Это условие часто определяет два значения x0, из которых одно соответствует минимуму, второе – максимуму риска (рис. 1). Соотношение (4) является необходимым, но недостаточным условием минимума. Для существования минимума R в точке x = x0 вторая производная должна быть положительной (4.1.), что приводит к следующему условию
|
|
относительно производных плотностей распределений:
Если распределения f (x, D1) и f(x, D2) являются, как обычно, одномодальными (т. е. содержат не более одной точки максимума), то при
Условие (5) выполняется. Действительно, в правой части равенства стоит положительная величина, а при x>x1 производная f "(x/D1), тогда как при x В дальнейшем под x0 будем понимать граничное значение диагностического параметра, обеспечивающее по правилу (5) минимум среднего риска. Будем также считать распределения f (x / D1) и f (x / D2) одномодальными («одногорбыми»). Из условия (4) следует, что решение об отнесении объекта x к состоянию D1 или D2 можно связать с величиной отношения правдоподобия. Напомним, что отношение плотностей вероятностей распределения x при двух состояниях называется отношением правдоподобия. По методу минимального риска принимается следующее решение о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра x: Эти условия вытекают из соотношений (5) и (4). Условие (7) соответствует x< x0, условие (8) x > x0. Величина (8.1.) представляет собой пороговое значение для отношения правдоподобия. Напомним, что диагноз D1 соответствует исправному состоянию, D2 – дефектному состоянию объекта; C21 – цена ложной тревоги; C12 – цена пропуска цели (первый индекс – принятое состояние, второй – действительное); C11 < 0, C22 – цены правильных решений (условные выигрыши). В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся и тогда Часто оказывается удобным рассматривать не отношение правдоподобия, а логарифм этого отношения. Это не изменяет результата, таккак логарифмическая функция возрастает монотонно вместе со своимаргументом. Расчет для нормального и некоторых других распределений при использовании логарифма отношения правдоподобия оказывается несколько проще. Рассмотрим случай, когда параметр x имеет нормальное распределение при исправном D1 и неисправном D2 состояниях. Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым. В рассматриваемом случае плотности распределений Внося эти соотношения в равенство (4), получаем после логарифмирования Диагностика работоспособности флэш накопителей осуществляется по количеству битых секторов (Reallocated sectors). Фирма Toshiba TransMemory при производстве модели “UD-01G-T-03” использует следующие допуски: Исправными считаются накопители у которых среднее значение составляет х1 = 5 на единицу объема. Среднеквадратичное отклонение примем равным ϭ1 = 2. При наличии дефекта NAND памяти эти значения равны х2 = 12, ϭ2 = 3 . Распределения предполагаются нормальными. Требуется определить предельное количество неисправных секторов, выше которого жесткий диск подлежит снятию с эксплуатации. По статистическим данным, неисправное состояние наблюдается у 10% флэш накопителей. Примем, что отношение стоимостей пропуска цели и ложной тревоги , и откажемся от «вознаграждения» правильных решений (С11=С22=0). Из условия (4) получаем Варианты задания: Вывод
Метод позволяет оценить вероятность принятия ошибочного решения определяется как минимизация точки экстремума среднего риска ошибочных решений при максимуме правдоподобия, т.е. проводится расчет минимального риска происхождения события при наличии информации о максимально подобных событиях. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3
МЕТОД БАЙЕСА
Среди методов технической диагностики метод, основанный на обобщенной формуле Байеса, занимает особое место благодаря простоте и эффективности. Разумеется, метод Байеса имеет недостатки: большой объем предварительной информации, «угнетение» редко встречающихся диагнозов и др. Однако в случаях, когда объем статистических данных позволяет применить метод Байеса, его целесообразно использовать как один из наиболее надежных и эффективных. Пусть имеется диагноз D i и простой признак k j , встречающийся при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния D i и признака k j) Из этого равенства вытекает формула Байеса Очень важно определить точный смысл всех входящих в эту формулу величин: P(D i) – вероятность диагноза D i , определяемая по статистическим данным (априорная вероятность диагноза). Так, если предварительно обследовано N объектов и у N i объектов имелось состояние D i , то P
(k j
/ D i
)– вероятность появления признакаk j у объектов с состоянием D i . Если среди N i объектов, имеющих диагноз D i , у N ij , проявился признак k j , то P
(k j
)– вероятность появления признакаk j во всех объектах независимо от состояния (диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов признак k j был обнаружен у N j объектов, тогда Для установления диагноза специальное вычисление P(k j) не требуется. Как будет ясно из дальнейшего, значения P(D i) и P(k j /D v), известные для всех возможных состояний, определяют величину P(k j). В равенстве (2) P(D i / k j) – вероятность диагноза D i после того, как стало известно наличие у рассматриваемого объекта признака k j (апостериорная вероятность диагноза). Обобщенная формула Байеса относится к случаю, когда обследование проводится по комплексу признаков K, включающему признаки k 1 , k 2 , …, k ν . Каждый из признаков k j имеет m j разрядов (k j1 , k j2 , …, k js , …, k jm). В результате обследования становится известной реализация признака и всего комплекса признаков К * . Индекс * , как и раньше, означает конкретное значение (реализацию) признака. Формула Байеса для комплекса признаков имеет вид где P(D i / K *) – вероятность диагноза D i после того, как стали известны результаты обследования по комплексу признаков K; P(D i) – предварительная вероятность диагноза D i (по предшествующей статистике). Формула (7) относится к любому из n возможных состояний (диагнозов) системы. Предполагается, что система находится только в одном из указанных состояний и потому В практических задачах нередко допускается возможность существования нескольких состояний A 1 , …, A r , причем некоторые из них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в качестве различных диагнозов D i следует рассматривать отдельные состояния D 1 = A 1 , …, D r = A r и их комбинации D r+1 = A 1 /\ A 2 . Перейдем к определению P
(K
* / D i
) . Если комплекс признаков состоит из н признаков, то где k
* j
= k js
– разряд признака, выявившийся в результате обследования. Для диагностически независимых признаков; В большинстве практических задач, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенных корреляционных связей между ними. Вероятность появления комплекса признаков K * Обобщенная формула Байеса может быть записана где P(K * / D i) определяется равенством (9) или (10). Из соотношения (12) вытекает что, разумеется, и должно быть, так как один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна. Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех диагнозов одинаков. Это позволяет сначала определить вероятности совместного появления i-го диагноза и данной реализации комплекса признаков и затем апостериорную вероятность диагноза Для определения вероятности диагнозов по методу Байеса необходимо составить диагностическую матрицу (табл. 1), которая формируется на основе предварительного статистического материала. В этой таблице содержатся вероятности разрядов признаков при различных диагнозах. Таблица 1 Если признаки двухразрядные (простые признаки «да – нет»), то в таблице достаточно указать вероятность появления признака P(k j / D i). Вероятность отсутствия признака P
(k j
/ D i
) = 1 − P
(k j
/ D i
) . Однако более удобно использовать единообразную форму, полагая, например, для двухразрядного признака P
(kj
/D
) = P
(kj
1/D
) ; P
(k j
/D
) = P
(kj
2/D
). Отметим, что ∑P
(k js
/ D i
) =1 , где m j – число разрядов признака k j . Сумма вероятностей всех возможных реализаций признака равна единице. В диагностическую матрицу включены априорные вероятности диагнозов. Процесс обучения в методе Байеса состоит в формировании диагностической матрицы. Важно предусмотреть возможность уточнения таблицы в процессе диагностики. Для этого в памяти ЭВМ следует хранить не только значения P(k js / D i), но и следующие величины: N – общее число объектов, использованных для составления диагностической матрицы; N i - число объектов с диагнозом D i ; N ij – число объектов с диагнозом D i , обследованных по признаку k j . Если поступает новый объект с диагнозом D μ , то проводится корректировка прежних априорных вероятностей диагнозов следующим образом: Далее вводятся поправки к вероятностям признаков. Пусть у нового объекта с диагнозом D μ выявлен разряд r признака k j . Тогда для дальнейшей диагностики принимаются новые значения вероятности интервалов признака k j при диагнозе D μ: Условные вероятности признаков при других диагнозах корректировки не требуют. Практическая часть 1.Изучить методические указания и получить задание. ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4
(8.1.)
Вар.
X 1 мм.
X 2 мм.
б1
б2
mini-koni.ru - Бизнес. Финансы. Страхование. Недвижимость. Интернет